50-LECIE DOKTORATU PROFESORA PAWŁA WALCZAKA

Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego oraz Oddział Łódzki PTM mają przyjemność zaprosić na konferencję naukową „Geometria, Dynamika, Foliacje” organizowaną z okazji 50-lecia doktoratu Profesora Pawła Walczaka.
Konferencja odbędzie się 9 listopada 2024 w godzinach 10:00-15:00 w Auli Wydziału Matematyki i Informatyki UŁ.
Celem konferencji jest przeprowadzenie debaty naukowej nad bogatym dorobkiem Jubilata, pokazanie współzależności zachodzących między geometrią, dynamiką a teorią foliacji oraz prezentacja aktualnych osiągnięć naukowych inspirowanych pracami badawczymi Profesora Pawła Walczaka.

Zaproszenie (pdf)

• 10:00-10:10  Powitanie – Dziekan Wydziału Matematyki i Informatyki UŁ dr hab. Grażyna Horbaczewska, prof. UŁ
• 10:10-10:25  Laudacja – dr hab. Andrzej Biś, prof. UŁ
• 10:30-11:00  Wręczenie dyplomu – Prorektor Uniwersytetu Łódzkiego dr hab. Radosław Olszewski, prof. UŁ
                       wypowiedź Jubilata, przemówienia
   
• 11:00-11:25  RÉMI LANGEVIN (Université de Bourgogne)
  Spirals, loxodromies and helices in the  space of circles
• 11:30-11:55  VLADIMIR ROVENSKI (University of Haifa)
  Variational problems for Godbillon-Vey type functionals
   
• 11:55-12:00  Pamiątkowe zdjęcie uczestników konferencji
• 12:00-13:00  Przerwa kawowa, toast
   
• 13:00-13:20  ALEKSY TRALLE (Uniwersytet Warmińsko-Mazurski)
  Pewne typy pseudo-Riemannowskich lokalnie jednorodnych przestrzeni
• 13:20-13:40  ROBERT WOLAK (Uniwersytet Jagielloński)
  Geometria foliacji
   
• 13:40-13:50  Nagrane życzenia
   
• 13:50-14:10  ANTONI PIERZCHALSKI (Uniwersytet Łódzki)
  Old and new in the gradients
• 14:10-14:30  BARBARA OPOZDA (Uniwersytet Jagielloński)
  Co to jest geometria afiniczna?
• 14:30-14:50  ANDRZEJ BIŚ (Uniwersystet Łódzki)
  Dynamika foliacji
   
• 14:50  Zakończenie
   

Andrzej Biś,  Dynamika foliacji 
Za początek teorii foliacji można przyjąć prace C.Ehresmanna i G. Reeba, pochodzące z lat 40-tych XX wieku, w których rozpatrywano geometryczną teorię rozwiązań holomorficznych równań różniczkowych na płaszczyźnie zespolonej.
Przez wiele lat rozwijano teorie foliacji badając głównie geometrie i topologie tych obiektów. Dopiero w 1988 r. Ghys, Langevin i Walczak [Acta. Math.160 (1988)] zdefiniowali geometryczną entropię foliacji F, zwartej rozmaitości M, poprzez entropie topologiczne jej pseudogrup holonomii. Pozwoliło to traktować foliacje F zwartej rozmaitości M jako uogólniony układ dynamiczny.
W referacie, opartym na wspólnej pracy z M. Carvalho i P. Varandasem, omówię zasady wariacyjne dla skończenie generowanych pseudogrup.

Rémi Langevin,  Spirals, loxodromies and helices in the  space of circles
After reminding the definition of Archimedes and logarithmic spirals, I'll state some classical properties of the logaritmic spirals and prove them using Lorentz geometry. In fact spirals belong to a larger class of curves: the loxodromies, that we define as curves making a constant angle with the circles of a pencil with base points. These are associated to helices contained in the space of circles, viewed as a quadric in Lorentz 4-dimensional space which carry many geometrical informations about the initial loxodromy.

Barbara Opozda,  Co to jest geometria afiniczna?
Celem wykłądu jest wyjasnienie, czym jest geometria afiniczna w porównaniu z geometria metryczną.
Motywacje, historia i aktualny stan rzeczy będą skrótowo przedstawione.

Antoni Pierzchalski,  Old and new in the gradients     (pdf)
The covariant derivative is a base differential operator in global analysis and differential geometry. It is a counterpart (an analogue) of the usual differential in the classical analysis.
Gradients, or more precisely, generalized gradients in the sense of Sein and Weiss are first order linear differential operators which are irreducible summands of the covariant derivative. Roughly spiking they are the simplest bricks the covariant derivative is build of:
         E. Stein, G. Weiss, Generalization of the Cauchy-Riemann equations and representations of the rotation group, Amer. J. Math. 90  (1968), 163–196.
Many natural first order linear differential operators in global analysis or differential geometry are either gradients or their compositions. For example, the exterior and interior derivatives, the coderivatives, the Cauchy-Riemann operator and the classical Dirac operator. Also, all the second order operators of Laplace type, including the Ahlfors Laplacian. 
Gradients depend on the geometry of a manifold: the domain on which they are defined as objects that are considered and investigated. On the other hand, they can themselves, e.g., by their spectral properties – determine – to some extent, the geometry (dimension, volume, area of the boundary, scalar curvature and others). 
The lecture will be a story on the gradients and on the main problems of the theory. In particular, on the problem of ellipticity which was initiated here in Łódź and  completely solved during 1995-97 in the three following papers: 
         J. Kalina, A. Pierzchalski, P. Walczak, Only one of the generalized gradients can be elliptic, Ann. Polon. Math. 67 (1997), 111–120. 
         J. Kalina, B. Orsted, A.  Pierzchalski, P. Walczak, G. Zang, Elliptic gradients and highest weights, Bull. Polon. Acad. Sci. Ser. Math.   44 (1996), 511–519. 
         T. Branson, Stein-Weiss operators and ellipticity, J. Funct. Anal. 151 (1997), 334–383.

Vladimir Rovenski,  Variational problems for Godbillon-Vey type functionals     (pdf)
In [1], the Godbillon-Vey (GV) functional [2] has been extended from foli ations to arbitrary plane fields on a 3-dimensional smooth manifold M. Namely, for M³ equipped with a plane field D and a vector field T transverse to D, we build a 3-form similar to GV class of a foliation. For a compatible metric on M, we express this in Reinhart-Wood form [3], using the curvature and torsion of T-curves and the non-symmetric second fundamental form of D. We describe critical points of associated GV-type functionals: for variable pair (D,T), and for variable Riemannian metric on M with fixed D.
The GV functional was never considered in a variational context in contact geometry. So, the following question arises: can one use the GV functional to f ind optimal almost contact manifolds? In [4], we introduced another GV-type functional for a 3-dimensional almost contact manifold M(φ,T,ω,g), presented it in Reinhart-Wood form and found its Euler-Lagrange equations for all vari ations of Riemannian metric preserving the unit vector field T. Critical points of associated GV-type functional have a double-twisted product structure and belong to the class C₅⊕C₁₂ of almost contact manifolds according to the Chinea-González classification [5].

References
[1] V. Rovenski, P. Walczak, A Godbillon-Vey type invariant for a 3-dimensional manifold with a plane field. Differential Geometry and Its Applications, 66, (2019), 212–230.
[2] C. Godbillon, J. Vey, Un invariant des feuilletages de codimension 1, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, 273 (1971), A92–A93.
[3] B.L. Reinhart, J.W. Wood, A metric formula for the Godbillon–Vey invari ant for foliations, PAMS, 38, No. 2 (1973), 427–430.
[4] V. Rovenski, Godbillon-Vey type functional for almost contact manifolds, J. of Geometry, 2024, 115:32. Doi: 10.1007/s00022-024-00733-6.
[5] D. Chinea, C. González, A classification of almost contact metric manifolds, Ann. Mat. Pura Appl. 156(4) (1990), 15–36.

Aleksy Tralle,  Pewne typy pseudo-Riemannowskich lokalnie jednorodnych przestrzeni
Rozmaitości pseudo-Riemannowskie są trudne do uchwycenia, ale ważne ze względu na liczne zastosowania. Na przykład, czasoprzestrzeń w sensie teorii względności jest właśnie pseudo-Riemannowska, a nie Riemannowska.
W referacie omówię  pewien typ takich przestrzeni (zwarte formy Clifforda-Kleina) i niektóre swoje ostatnie wyniki (wspólne z Maciejem Bocheńskim).

Robert Wolak,  Geometria foliacji
Paweł Walczak poświęcił wiele swoich publikacji geometrii rozmaitości riemannowskich z foliacjami. Pierwszym ciekawym twierdzeniem jest charateryzacja funkcji, które mogą reprezentować krzywiznę średnią liści zwartej foliacji kowymiaru 1. Największe zainteresowanie wśród geometrów wzbudziły formuły całkowe pokazujące, że całka po rozmaitości z funkcji zależnej od krzywizn powiązanych z samą foliacją jak i dystrybucją ortogonalną do niej jest równa 0. Związki pomiędzy geometrią rozmaitości, a geometrią foliacji jak i dystrybucji ortogonalnej są tematem wielu późniejszych prac Pawła Walczaka. Omówię kilka, mam nadzieję najciekawszych, wyników tego typu.